Thông qua bài bác học những em sẽ vắt được các dạng Phương trình lượng gác cơ bản và công thức nghiệm của chúng. Cùng với hệ thống bài tập minh họa có hướng dẫn giải để giúp các em nắm rõ nội dung bài xích học. Đây là bài bác toán nền tảng gốc rễ để những em học tiếp số đông dạng phương trình lượng tinh vi hơn hay giải một số dạng bài xích tập có tương quan đến lượng giác khác.
Bạn đang xem: Toán 11 bài 2 phương trình lượng giác cơ bản
1. Cầm tắt lý thuyết
1.1. Phương trình sinx= a
1.2. Phương trình cosx= a
1.3. Phương trình tanx= a
1.4. Phương trình cotx= a
2. Bài tập minh hoạ
3.Luyện tập bài xích 2 chương 1 giải tích 11
3.1 Trắc nghiệm về phương trình lượng giác
3.2 bài xích tập SGK và cải thiện về hàm con số giác
4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 1 giải tích 11
Nếu (|a|>1): Phương trình vô nghiệm. Nếu như (|a|leq 1):(sin x = sin alpha Leftrightarrow left< eginarrayl x = alpha + k2pi \ x = pi - alpha + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))(sin x = sin eta ^0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = eta ^0 + k360^0\ x = 180^0 - eta ^0 + k360^0 endarray ight.left( k inmathbbZ ight))(sin x = a Leftrightarrow left< eginarrayl x = arcsin a + k2pi \ x = pi - arcsin a + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))Tổng quát: (sin fleft( x ight) = sin gleft( x ight) Leftrightarrow left< eginarrayl fleft( x ight) = gleft( x ight) + k2pi \ fleft( x ight) = pi - gleft( x ight) + k2pi endarray ight.,,left( k inmathbbZ ight))Các ngôi trường hợp đặc biệt:
(eginarrayl oplus ,,,sin x = 1 Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi ,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus ,,,sin x = - 1 Leftrightarrow x = - fracpi 2 + k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi ,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)
Nếu(|a|>1): Phương trình vô nghiệm. Nếu(|a|leq 1):(cos x = cos alpha Leftrightarrow x = pm alpha + k2pi left( k inmathbbZ ight))(cos x = cos eta ^0 Leftrightarrow x = pm eta ^0 + k360^0left( k in mathbbZ ight))(cos x = a Leftrightarrow x = pm ,arcc mosa + k2pi left( k in mathbbZ ight))Tổng quát:(cos fleft( x ight) =cos gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = pm gleft( x ight) + k2pi ,,left( k in mathbbZ ight))Các ngôi trường hợp sệt biệt:
(eginarrayl oplus ,,,cos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,cos x = - 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,cos x = 0 Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi ,,,left( k in mathbbZ ight) endarray)
(eginarrayl oplus an x = mathop m t olimits manalpha Leftrightarrow ,x, m = ,alpha + kpi ,,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus an x = mathop m t olimits maneta ^0 Leftrightarrow ,x m = eta ^0 + k m18 m0^0,,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus an x = a Leftrightarrow x m = arctan a, + kpi ,,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)
Tổng quát:( an fleft( x ight) = an gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))(eginarrayl oplus cot x = cot alpha Leftrightarrow mx,, m = ,alpha , m + , mkpi ,,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus cot x = cot eta ^0 Leftrightarrow mx,, m = ,eta ^0 m + , mk18 m0^0,,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus cot x = a Leftrightarrow mx,, m = mathop m arc olimits cot ,a, m + , mkpi ,,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)
Tổng quát:(cot fleft( x ight) = cot gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
a)(sin left( frac2x3 - fracpi 3 ight)=0).
b)(sin x = sin fracpi 12).
c)(sin 3x = frac12).
d)(sin x = frac23).
Lời giải:a)(sin left( frac2x3 - fracpi 3 ight)=0Leftrightarrow frac2x3 - fracpi 3 = kpi Leftrightarrow ,frac2x3 = fracpi 3 + kpi)
(Leftrightarrow ,x = fracpi 2 + kfrac3pi 2),(k in mathbbZ.)
Vậy phương trình có những nghiệm là:(,x = fracpi 2 + kfrac3pi 2), (k in mathbbZ.)
b)(sin x = sin fracpi 12 Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 12 + k2pi \ x = pi - fracpi 12 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 12 + k2pi \ x = frac11pi 12 + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))
Vậy phương trình có những nghiệm là(x = fracpi 12 + k2pi ,kin mathbbZ)và (x = frac11pi 12 + k2pi ,kin mathbbZ.)
c)(sin 3x = frac12 Leftrightarrow sin 3x = sin fracpi 6 Leftrightarrow left< eginarrayl 3x = fracpi 6 + k2pi \ 3x = frac5pi 6 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 18 + kfrac2pi 3\ x = frac5pi 18 + kfrac2pi 3 endarray ight.left( k in mathbbZ ight))
Vậy phương trình có các nghiệm là(x = fracpi 18 + kfrac2pi 3, k in mathbbZ)và(x = frac5pi 18 + kfrac2pi 3, k in mathbbZ).
d)(sin x = frac23 Leftrightarrow left< eginarrayl x = arcsin frac23 + k2pi \ x = pi - arcsin frac23 + k2pi endarray ight.left( k inmathbbZ ight))
Vậy phương trình có những nghiệm là(x = arcsin frac23 + k2pi,k in mathbbZ)và(x = pi - arcsin frac23 + k2pi, k in mathbbZ.)
Ví dụ 2:Giải những phương trình sau:
a)(cos left( frac3x2 - fracpi 4 ight) = - frac12).
b)(cos left( x + 45^0 ight) = fracsqrt 2 2).
Lời giải:a)(cos left( frac3x2 - fracpi 4 ight) = - frac12 Leftrightarrow left< eginarrayl frac3x2 - fracpi 4 = frac2pi 3 + k2pi \ frac3x2 - fracpi 4 = - frac2pi 3 + k2pi endarray ight.)(Leftrightarrow left< eginarrayl x = frac11pi 18 + kfrac4pi 3\ x = - frac5pi 18 + kfrac4pi 3 endarray ight.mkern 1mu ,mkern 1mu k in mathbbZ.)
Vậy phương trình có các nghiệm là:(x = frac11pi 18 + kfrac4pi 3, k in mathbbZ)và(x = - frac5pi 18 + kfrac4pi 3, k in mathbbZ.)
b)(cos left( x + 45^0 ight) = fracsqrt 2 2 Leftrightarrow cos left( x + 45^0 ight) = c mos45^0)
(Leftrightarrow left< eginarrayl x + 45^0 = 45^0 + k360^0\ x + 45^0 = - 45^0 + k360^0 endarray ight.)(Leftrightarrow left< eginarrayl x = 45^0 + k360^0\ x = - 90^0 + k360^0 endarray ight.left( k in mathbbZ ight).)
Vậy phương trình có những nghiệm là:(x = 45^0 + k360^0, k in mathbbZ)và(x = - 90^0 + k360^0, k in mathbbZ.)
Ví dụ 3:Giải các phương trình sau:
a)( an x = an fracpi 3).
b)( an (x - 15^0) = fracsqrt 3 3).
Lời giải:a)( an x = an fracpi 3 Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi ,left( k inmathbbZ ight).)
b)( an (x - 15^0) = fracsqrt 3 3 Leftrightarrow)( an (x - 15^0) = an 30^0Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , k in mathbbZ.)
Vậy những nghiệm của phương trình là(x = 45^0 + k180^0 , k in mathbbZ.)
ví dụ 4:Giải những phương trình sau:
a)(cot 4x = ,cot frac2pi 7).
b)(cot 4x = - 3.)
c)(cot left( 2x - fracpi 6 ight) = frac1sqrt 3 ).
Lời giải:a)(cot 4x = ,cot frac2pi 7)(Leftrightarrow 4x = frac2pi 7, + ,kpi Leftrightarrow ,x = fracpi 14 + ,kfracpi 4,,k in mathbbZ.)
Vậy những nghiệm của phương trình là:(x = fracpi 14 + ,kfracpi 4;,k in mathbbZ.)
b)(cot 4x = - 3 Leftrightarrow 4x = arctan left( - 3 ight) + kpi Leftrightarrow x = frac14arctan left( - 3 ight) + kfracpi 4,left( k in mathbbZ ight).)
Vậy các nghiệm của phương trình là:(x = frac14arctan left( - 3 ight) + kfracpi 4,left( k in mathbbZ ight).)
c)(cot left( 2x - fracpi 6 ight) = frac1sqrt 3 Leftrightarrow cot left( 2x - fracpi 6 ight) = cot fracpi 6)
(Leftrightarrow 2x - fracpi 6 = fracpi 6 + kpi Leftrightarrow 2x = fracpi 3 + kpi)
(Leftrightarrow x = fracpi 6 + kfracpi 2,left( k inmathbbZ ight).)
Vậy những nghiệm của phương trình là:(x = fracpi 6 + kfracpi 2,left( k inmathbbZ ight).)
Trong phạm vi bài bác họcHỌC247chỉ giới thiệu đến những em gần như nội dung cơ phiên bản nhất vềphương trình lượng giác.Đây là một trong dạng toán nền tảng không những trong phạm vi khảo sát hàm con số giác ngoại giả được vận dụng trong việcgiải phương trình lượng giác, sự 1-1 điệu của hàm con số giác,....các em cần tò mò thêm.
Để cũng cố bài học xin mời những em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 bài bác 2 để khám nghiệm xem tôi đã nắm được nội dung bài học kinh nghiệm hay chưa.
A.(x = fracpi 20 + kfracpi 2;x = fracpi 5 + kfracpi 2,k in mathbbZ.) B.(x = fracpi 20 + kfracpi 2;x = fracpi 10 + kfracpi 2,k in mathbbZ.)C.(x = fracpi 10 + kfracpi 2;x = fracpi 5 + kfracpi 2,k in mathbbZ.)D.(x = frac3pi 5 + kfracpi 2;x = fracpi 10 + kfracpi 2,k in mathbbZ.)
A.(x = pm arccos frac25 - fracpi 18 + k2pi ,k in mathbbZ.)B.(x = pm arccos frac25 + fracpi 18 + k2pi ,k in mathbbZ.)C.(x = pm arccos frac52 - fracpi 18 + k2pi ,k in mathbbZ.)D.(x = pm arccos frac52 + fracpi 18 + k2pi ,k in mathbbZ.)
A.(x_1 = 5 - frac11pi 6;x_2 = 5 - frac13pi 6.)B.(x_1 = 5 + frac11pi 6;x_2 = 5 - frac13pi 6.)C.(x_1 = 5 - frac11pi 6;x_2 = 5 + frac13pi 6.)D.(x_1 = 5 + frac11pi 6;x_2 = 5 + frac13pi 6.)
Câu 4-10:Mời những em đăng nhập xem tiếp văn bản và thi thử Online để củng cố kỹ năng và nắm rõ hơn về bài học kinh nghiệm này nhé!
Bên cạnh đó những em có thể xem phần giải đáp Giải bài bác tập Toán 11 Chương 1 bài bác 2sẽ giúp những em thay được các cách thức giải bài xích tập tự SGKGiải tích 11Cơ phiên bản và Nâng cao.
Xem thêm: Ln2 Bằng Bao Nhiêu - Công Thức Tính Số Thập Phân Của Hằng Số Ln2
bài xích tập 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11
bài xích tập 2 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11
bài bác tập 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11
bài bác tập 4 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11
bài bác tập 5 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11
bài tập 6 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11
bài xích tập 7 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11
bài bác tập 1.14 trang 23 SBT Toán 11
bài xích tập 1.15 trang 23 SBT Toán 11
bài bác tập 1.16 trang 24 SBT Toán 11
bài tập 1.17 trang 24 SBT Toán 11
bài bác tập 1.18 trang 24 SBT Toán 11
bài bác tập 1.19 trang 24 SBT Toán 10
bài bác tập 1.20 trang 24 SBT Toán 11
bài bác tập 1.21 trang 24 SBT Toán 10
bài xích tập 1.22 trang 24 SBT Toán 11
bài tập 1.23 trang 24 SBT Toán 10
bài xích tập 1.24 trang 25 SBT Toán 11
bài xích tập 14 trang 28 SGK Toán 11 NC
bài tập 15 trang 28 SGK Toán 11 NC
bài tập 16 trang 28 SGK Toán 11 NC
bài tập 17 trang 29 SGK Toán 11 NC
bài tập 18 trang 29 SGK Toán 11 NC
bài tập 19 trang 29 SGK Toán 11 NC
bài bác tập 20 trang 29 SGK Toán 11 NC
bài tập 21 trang 29 SGK Toán 11 NC
bài bác tập 22 trang 30 SGK Toán 11 NC
bài tập 23 trang 31 SGK Toán 11 NC
bài bác tập 24 trang 32 SGK Toán 11 NC
bài bác tập 25 trang 32 SGK Toán 11 NC
bài bác tập 26 trang 32 SGK Toán 11 NC
Nếu có vướng mắc cần giải đáp các em rất có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, cộng đồng Toán HỌC247 đang sớm trả lời cho những em.