Tính tích phân, nguyên hàm bằng cách thức đổi thay đổi số là dạng toán thông dụng nhưng đặc trưng trong công tác toán học THPT. Vậy nguyên hàm là gì? Tích phân là gì? phương pháp đổi biến số nhằm tìm nguyên hàm, tích phân?… Trong bài viết dưới đây, rongnhophuyen.com để giúp đỡ bạn tổng hợp kỹ năng và kiến thức về chủ đề này nhé!




Bạn đang xem: Phương pháp đổi biến số

Mục lục

1 Định nghĩa nguyên hàm là gì?2 Định nghĩa tích phân là gì? 3 phương pháp đổi biến đổi số vào nguyên hàm4 cách thức đổi biến chuyển số vào tích phân

Định nghĩa nguyên hàm là gì?

Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số (f) khẳng định trên (K). Hàm số (F) được điện thoại tư vấn là nguyên hàm của (f) nếu (F"(x)=f(x)) với đa số (x) ở trong (K)


Chú ý : mang sử hàm số (F) là một trong nguyên hàm của hàm số (f) bên trên (K) thì lúc đó hàm số (y = F(x) + C) cũng là một trong nguyên hàm của (f) bên trên (K) với đa số hằng số (C)

Một số bí quyết nguyên hàm cơ bản

Dưới đó là một số công thức tính nguyên hàm cơ bản thường được sử dụng:

(int 0dx = C)(int dx =x+ C)(int x^kdx = fracx^k+1k+1 +C) với (k eq 1)(int frac1x dx =ln |x| +C)(int a^x dx = fraca^xln a +C) cùng với (0Với (k) là hằng số không giống 0:

(int sin kx hspace2mm dx = frac-cos kxk +C)

(int cos kx hspace2mm dx = fracsin kxk +C)

(int e^kx dx = frace^kxk +C)

(int frac1cos^2xdx = an x +C)(int frac1sin^2xdx =-cot x +C)

Định nghĩa tích phân là gì? 

Tích phân là gì? 

*

Một số luật lệ tích phân căn bản

*

Phương pháp tính tích phân

Về lý thuyết có 3 cách tính tích phân cơ phiên bản như sau:

Tính tích phân bằng phương thức phân tích.Tính tích phân bằng cách thức đổi biến.Tính tích phân bằng cách thức từng phần.

Bảng tích phân của một trong những hàm số sơ cấp phụ thuộc đạo hàm 

*

Phương pháp đổi phát triển thành số vào nguyên hàm

Dạng bài bác thông dụng đó là tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến hóa số. Các đại lý của cách thức này trong nguyên hàm là ta sử dụng định lý:

Cho hàm số (u=u(x)) gồm đạo hàm tiếp tục trên (K) cùng hàm số (y=f(u))liên tục thỏa mãn (f) khẳng định trên (K). Khi đó nếu (F) là 1 nguyên hàm của hàm số (f) thì : (int fu"(x)dx= F+C)

Phương pháp đổi biến hóa số dạng 1

Để tính nguyên hàm hàm số (f(x)) ta thực hiện quá trình sau:

Bước 1: Đặt ẩn (t = u(x)) trong các số ấy (u(x)) là một trong những hàm số yêu thích hợp. Lúc ấy (dt = u’(x)dx)Bước 2: đổi khác (int f(x)dx = int g.u"(x)dx =int g(t)dt =G(t) +C)Bước 3: ráng (t=u(x)) , ta được kết quả

Ví dụ:

Tìm (int fracx^3sqrt<3>2x^4+3dx):

Cách giải:

Ta có:

(fracx^3sqrt<3>2x^4+3dx = frac18.frac8x^3sqrt<3>2x^4+3dx=frac18.frac(2x^4+3)’sqrt<3>2x^4+3dx =frac18.fracd(2x^4+3)sqrt<3>2x^4+3)

Đặt (t=2x^4+3). Khi đó:

(int fracx^3sqrt<3>2x^4+3dx = int frac18.fracdtsqrt<3>t=int fract^-frac138dt=frac18.frac32.t^frac23 +C =frac3sqrt<3>t^216 +C)

Thay (t=2x^4+3) vào ta được :

(int fracx^3sqrt<3>2x^4+3dx = frac3sqrt<3>(2x^4+3)^216 +C)

Phương pháp đổi vươn lên là số dạng 2

Để tính nguyên hàm hàm số (f(x)) ta thực hiện quá trình sau:

Bước 1: Đặt (x = u(t)) trong đó (u(t)) là một trong hàm số say đắm hợp. Lúc đó (dx=u’(t)dt)Bước 2: chuyển đổi (int f(x)dx = int fu"(t)dt=int g(t)dt=G(t)+C)Bước 3: thay đổi (G(t)) theo (x), ta được kết quả

Ví dụ:

Tìm (int fracdxsqrt(1+x^2)^3)

Cách giải:

Đặt (x= an t) với (t in <-fracpi2;fracpi2>)

Khi đó : (dx = ( an t)’dt=fracdtcos^2t)

Vậy ta bao gồm :

 (int fracdxsqrt(1+x^2)^3 = int fracdtsqrt(1+ an^2t)^3.cos^2t =int cos t hspace2mm dt= sin t +C)

Vì (x= an t) nên:

(x^2= fracsin^2 tcos^2 t = fracsin^2 t1- sin^2 t)

(Rightarrow x^2(1- sin^2 t) = sin ^2 t Rightarrow sin^2 t(1+x^2)= x^2)

(Rightarrow sin t = fracxsqrt1+x^2)

Thay vào ta được : (int fracdxsqrt(1+x^2)^3 =fracxsqrt1+x^2 +C)

*

Phương pháp đổi phát triển thành số vào tích phân

Phương pháp đổi phát triển thành số quy về search nguyên hàm 

Ta áp dụng những cách đổi biến chuyển số trong nguyên hàm nhằm tìm nguyên hàm của hàm số. Kế tiếp tính tính phân theo yêu cầu của đề bài

Ví dụ:

Tìm (int_0^1 sqrt1-x^2 hspace2mm dx)

Cách giải:

Đặt (x=sin t) với (t in <-fracpi2;fracpi2>)

Khi kia (dx = (sin t)’dt= cos t hspace2mm dt)

Đổi cận: với (x=0 Rightarrow t=0) cùng (x=1 Rightarrow t=fracpi2)

Vậy:

(int sqrt1-x^2 hspace2mm dx = int sqrt1-sin^2t.cos t hspace2mm dt=int cos^2 t hspace2mm dt)

(=int fraccos 2t +12dt =fracsin 2t4 +fract2)

Do đó:

(int_0^1 sqrt1-x^2 hspace2mm dx =fracsin 2t4 +fract2 igg|_0^fracpi2=fracpi4) 

Phương pháp đổi trở nên số sệt biệt 

Trong một số trong những bài toán tính tích phân (I=int_a^bf(x)dx), ta có thể đặt ẩn phụ: (t=(a+b)-x) tiếp nối lợi dụng tính chẵn lẻ của hàm số (f(x)) nhằm tính toán thuận lợi hơn

Ví dụ:

Tính tích phân (I=int_-1^1x^2018sin x hspace2mm dx)

Cách giải:

Ta có:

(I=int_-1^1x^2018sin x hspace2mm dx =int_-1^0x^2018sin x hspace2mm dx + int_0^1x^2018sin x hspace2mm dx hspace2mm (*))

Đặt (J=int_-1^0x^2018sin x hspace2mm dx)

Đặt (t=-x Rightarrow dx=-dt)

Đổi cận : (x=0 Rightarrow t=0) cùng (x=-1 Rightarrow t=1)

Vậy ta có :

(J=int_-1^0x^2018sin x hspace2mm dx = -int_0^1(-t)^2018.sin (-t).(-dt)= -int_0^1t^2018.sin t hspace2mm dt)

Thay vảo ((*)) ta được: (I=0)

Bài viết trên phía trên của rongnhophuyen.com đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về nguyên hàm, tích phân cũng như phương thức đổi đổi mới số vào nguyên hàm cùng tích phân.

Xem thêm: Tuyển Tập 7 Đoạn Mở Bài Vợ Chồng A Phủ Hay Nhất Được Tuyển Chọn

Mong muốn những kiến thức và kỹ năng trong bài viết sẽ mang lại lợi ích cho các bạn trong quy trình học tập và phân tích về phương pháp đổi biến đổi số. Chúc bạn luôn học tốt!