Lý thuyết số là một trong những ngành của toán học triết lý nghiên cứu về đặc điểm của số nói thông thường và số nguyên nói riêng, tương tự như những lớp rộng lớn hơn các bài toán mà trở nên tân tiến từ những nghiên cứu của nó.

Bạn đang xem: Lý thuyết số

Lý thuyết số có thể phân thành một vài nghành dựa theo cách thức giải và các dạng bài xích toán được coi như xét. (Xem Danh sách những chủ đề của kim chỉ nan số).

Cụm trường đoản cú “số học” cũng khá được sử dụng để nói đến triết lý số. Đây là nhiều từ không thể được sử dụng thoáng rộng nữa. Mặc dù nhiên, nó vẫn còn hiện diện trong tên của một số nghành toán học (hàm số học, số học con đường cong elliptic, định lý cơ bản của số học). Việc thực hiện cụm tự số học ở chỗ này không đề xuất nhầm lẫn cùng với số học sơ cấp.


Mục lục


1 các lĩnh vực

1.1 triết lý số sơ cấp1.2 lý thuyết số giải tích1.3 kim chỉ nan số đại số1.4 lý thuyết số hình học1.5 lý thuyết số tổ hợp1.6 định hướng số thiết bị tính2 kế hoạch sử2.1 lý thuyết số thời gian Vedic2.2 lý thuyết số của fan Jaina2.3 định hướng số Hellenistic2.4 kim chỉ nan số Ấn Độ cổ điển2.5 lý thuyết số của bạn Hồi giáo2.6 lý thuyết số châu Âu ban đầu2.7 bắt đầu lý thuyết số hiện nay đại2.8 kim chỉ nan số về số nguyên tố2.9 những thành tựu trong gắng kỉ 192.10 những thành tựu trong vắt kỉ 203 Danh ngôn4 Tham khảo5 liên kết ngoài

Các lĩnh vực

Lý thuyết số sơ cấp

Trong kim chỉ nan số sơ cấp, các số nguyên được nghiên cứu mà không cần những kĩ thuật từ bỏ các lĩnh vực khác của toán học. Nó phân tích các sự việc về chia hết, cách áp dụng thuật toán Euclid nhằm tìm mong chung mập nhất, so sánh số nguyên thành vượt số nguyên tố, việc nghiên cứu và phân tích các số hoàn thành xong và đồng dư.

Rất nhiều vấn đề trong triết lý số hoàn toàn có thể phát biểu dưới ngôn ngữ sơ cấp, nhưng mà chúng cần những nghiên cứu thâm thúy và mọi tiếp cận mới bên ngoài lĩnh vực định hướng số để giải quyết.

Một số ví dụ:

Giả thuyết Goldbach nói tới việc biểu diễn các số chẵn thành tổng của hai số nguyên tố.Giả thuyết Catalan (bây giờ là định lý Mihăilescu) nói về các lũy vượt nguyên liên tiếp.Giả thuyết số nhân tố sinh đôi nói rằng gồm vô hạn số nguyên tố sinh đôiGiả thuyết Collatz nói đến một hàng đệ quy đối chọi giảnĐịnh lý khủng Fermat (nêu lên vào khoảng thời gian 1637, đến năm 1994 mới được bệnh minh) nói rằng phương trình x n + y n = z n displaystyle x^n+y^n=z^n

*
không tồn tại nghiệm nguyên không giống không cùng với n lớn hơn 2.Lý thuyết về phương trình Diophantine thậm chí còn đã được chứng minh là ko có cách thức chung đề giải (Xem vấn đề thứ 10 của Hilbert)

Lý thuyết số giải tích

Lý thuyết số giải tích sử dụng công thay giải tích cùng giải tích phức để giải quyết các vụ việc về số nguyên. Định lý số nguyên tố với giả thuyết Riemann là những ví dụ. Việc Waring (biểu diễn một trong những nguyên cho trước thành tổng những bình phương, lập phương, v.v…), giả thuyết số yếu tố sinh đôi với giả thuyết Goldbach cũng đang bị tấn công bởi các phương pháp giải tích. Chứng minh về tính hết sức việt của các hằng số toán học, như thể π tốt e, cũng được xếp vào lĩnh vực kim chỉ nan giải tích số. Trong những khi những phát biểu về những số rất việt trong khi đã bị loại bỏ bỏ khỏi việc phân tích về các số nguyên, bọn chúng thực sự nghiên cứu giá trị của những đa thức với hệ số nguyên tại, ví dụ, e; bọn chúng cũng tương quan mật thiết với nghành nghề xấp xỉ Diophantine, nghành nghề dịch vụ nghiên cứu một trong những thực mang đến trước rất có thể xấp xỉ bởi một trong những hữu tỉ tốt tới mức nào.

Lý thuyết số đại số

Trong kim chỉ nan số đại số, tư tưởng của một trong những được không ngừng mở rộng thành các số đại số, có nghĩa là các nghiệm của những đa thức với thông số nguyên. Phần lớn thứ này bao hàm những thành phần tương tự như với các số nguyên, nói một cách khác là số nguyên đại số. Với định nghĩa này, mọi tính chất quen thuộc của số nguyên (như so sánh nguyên tố duy nhất) không còn đúng. Lợi thế của các công cụ kim chỉ nan – định hướng Galois, group cohomology, class field theory, màn biểu diễn nhóm với L-hàm – là nó cho phép lấy lại phần nào đơn côi tự của lớp số mới.

Rất những vấn đề triết lý số hoàn toàn có thể được xử lý một cách rất tốt bởi phân tích chúng theo modulo p với mọi số nguyên tố phường (xem những trường hữu hạn). Đây được hotline là địa phương hóa với nó dẫn tới việc xây dựng các số p-adic; lĩnh vực nghiên cứu này được call là giải tích địa phương và nó bắt nguồn từ kim chỉ nan số đại sô.

Lý thuyết số hình học

Lý thuyết số hình học (cách gọi truyền thống lịch sử là (hình học của những số) phối hợp tất cả những dạng hình học. Nó bước đầu với định lý Minkowski về những điểm nguyên trong các tập lồi cùng những phân tích về sphere packing.

Lý thuyết số tổ hợp

Lý thuyết số tổ hợp giải quyết các vấn đề về triết lý số mà bao gồm tư tưởng tổng hợp trong phương pháp hoặc cách minh chứng của nó. Paul Erdős là fan khởi xướng chủ yếu của ngành định hướng số này. đông đảo chủ đề thông thường bao gồm hệ bao, câu hỏi tổng-zero, không hề ít restricted sumset và cung cấp số cộng trong một tập số nguyên. Các cách thức đại số hoặc giải tích rất mạnh trong những lĩnh vực này.

Lý thuyết số sản phẩm tính

Lý thuyết số trang bị tính nghiên cứu và phân tích các thuật toán liên quan đến triết lý số. đa số thuật toán gấp rút để soát sổ tính nguyên tố cùng phân tích vượt số nguyên tố bao gồm ứng dụng đặc biệt quan trọng trong mã hóa.

Lịch sử

Lý thuyết số giai đoạn Vedic

Các bên toán học tập Ấn Độ đã suy nghĩ việc kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine từ giai đoạn Vedic. Mọi ứng dụng sớm nhất vào hình học tập của phương trình Diophantine rất có thể tìm thấy trong kinh Sulba, được viết vào thời gian giữa thế kỉ sản phẩm 8 và cố kỉnh kỉ sản phẩm 6 trước Công nguyên. Baudhayana (năm 800 TCN) tìm kiếm thấy nhì tập nghiệm nguyên dương của một hệ những phương trình Diophantine, và cũng thực hiện hệ phương trình Diophantine cùng với tới bốn ẩn. Apastamba (năm 600) áp dụng hệ phương trình Diophantine với tới năm ẩn.

Lý thuyết số của bạn Jaina

Ở Ấn Độ, những nhà toán học Jaina đã phát triển kim chỉ nan số gồm hệ thống thứ nhất từ ráng kỉ máy 4 trước Công Nguyên tới ráng kỉ trang bị 2. Văn từ bỏ Surya Prajinapti (năm 400 TCN) phân lớp toàn bộ các số thành cha tập: đếm được, ko đếm được và vô hạn. Từng tập này lại được chia thành ba cấp:

Đếm được: rẻ nhất, trung bình, với cao nhất.Không đếm được: gần như không đếm được, thật sự không đếm được, cùng không đếm được một biện pháp không đếm được.Vô hạn: gần như vô hạn, thật sự vô hạn, vô hạn một giải pháp vô hạn

Những bạn Jain là đông đảo người trước tiên không gật đầu đồng ý ý tưởng các vô hạn các như nhau. Họ nhận thấy năm một số loại vô hạn không giống nhau: vô hạn theo một hoặc nhị hướng (một chiều), vô hạn theo diện tích (hai chiều), vô hạn đa số nơi (ba chiều), và vô hạn liên tục (vô số chiều).

Số đếm được tối đa N của fan Jain tương xứng với khái niệm văn minh aleph-không

ℵ displaystyle aleph _0

(cardinal number của tập vô hạn những số nguyên 1,2,…), the smallest cardinal transfinite number. Người Jain cũng định nghĩa cục bộ hệ thống các cardinal number, trong đó

ℵ displaystyle aleph _0

là nhỏ dại nhất.

Trong dự án công trình của fan Jain về triết lý tập hợp, họ phân biệt hai nhiều loại transfinite number cơ bản. Ở cả lĩnh vực vật lý và phiên bản thể học (ontology), sự khác biệt được tạo thành giữa asmkhyata cùng ananata, giữa vô hạn bị ngăn ngặt cùng vô hạn bị chặn lỏng.

Lý thuyết số Hellenistic

Lý thuyết số là 1 trong những đề tài ưa thích của những nhà toán học tập Hellenistic nghỉ ngơi Alexandria, Ai Cập từ vắt kỉ thiết bị 3 sau Công Nguyên. Họ đã nhận được thức được có mang phương trình Diophantine trong không hề ít trường hợp đặc biệt. Nhà toán học tập Hellenistic trước tiên nghiên cứu đa số phương trình này là Diophantus.

Diophantus đã và đang tìm tìm một phương thức để search nghiệm nguyên của những phương trình vô định con đường tính, rất nhiều phương trình mà thiếu đk đủ để có một tập duy nhất các nghiệm phân biệt. Phương trình

x + y = 5 displaystyle x+y=5

*
là một trong những phương trình như vậy. Diophantus đã mày mò ra những phương trình vô định bao gồm thể biến đổi thành các dạng đã biết tuy nhiên thậm chí còn đo đắn được nghiệm vậy thể.

Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển

Phương trình Diophantine đang được nghiên cứu một cách sâu sắc bởi những nhà toán học Ân Độ trung cổ. Bọn họ là gần như người trước tiên nghiên cứu vãn một phương pháp có khối hệ thống các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine. Aryabhata (499) là người đầu tiên tìm ra dạng nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính

a y + b x = c displaystyle ay+bx=c

*
, được ghi trong cuốn Aryabhatiya của ông. Thuật toán kuttaka này được xem là một trong những cống hiến quan trọng độc nhất của Aryabhata vào toán học lý thuyết, sẽ là tìm nghiệm của phương trình Diophantine bởi liên phân số. Aryabhata đã dùng kĩ thuật này để tìm nghiệm nguyên của những hệ phương trình Diophantine, một việc có ứng dụng quan trọng đặc biệt trong thiên văn học. Ông cũng đã tìm ra nghiệm tổng quát so với phương trình tuyến đường tính vô định bằng phương thức này.

Brahmagupta vào thời điểm năm 628 đã thế được hồ hết phương trình Diophantine phức hợp hơn. Ông sử dụng phương thức chakravala để giải phương trình Diophantine bậc hai, bao gồm cả những dạng của phương trình Pell, như thể

61 x 2 + 1 = y 2 displaystyle 61x^2+1=y^2

. Cuốn Brahma Sphuta Siddhanta của ông đã được dịch sang trọng tiếng Ả Rập vào thời điểm năm 773 và tiếp đến được dịch thanh lịch tiếng Latin vào năm 1126. Phương trình

61 x 2 + 1 = y 2 displaystyle 61x^2+1=y^2

kế tiếp đã được chuyển thành một bài xích toán vào khoảng thời gian 1657 vì nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat. Leonhard Euler hơn 70 năm tiếp theo đã kiếm được nghiệm tổng quát so với trường thích hợp riêng này của phương trình Pell, trong lúc nghiệm tổng thể của phương trình Pell đã có được tìm ra hơn 100 năm kế tiếp bởi Joseph Louis Lagrange vào 1767. Trong lúc đó, những thế kỉ trước, nghiệm tổng thể của phương trình Pell đang được đánh dấu bởi Bhaskara II vào 1150, áp dụng một dạng khác của phương thức chakravala. Ông cũng đã sử dụng nó để tìm ra nghiệm tổng quát so với các phương trình vô định bậc hai cùng phương trình Diophantine bậc nhị khác. Cách thức chakravala của Bhaskara dùng làm tìm nghiệm phương trình Pell đơn giản dễ dàng hơn các so với phương pháp mà Lagrange áp dụng 600 năm sau đó. Bhaskara cũng đã kiếm được nghiệm của những phương trình vô định bậc hai, bậc ba, tư và cao hơn. Narayana Pandit đã cải tiến phương pháp chakravala và tìm thêm được những nghiệm bao quát hơn so với các phương trình vô định bậc hai và cao hơn nữa khác.

Lý thuyết số của bạn Hồi giáo

Từ nạm kỉ 9, những nhà toán học tập Hồi giáo vẫn rất quan tâm đến lý thuyết số. Trong số những nhà toán học đầu tiên này là đơn vị toán học Ả Rập Thabit ibn Qurra, tín đồ đã tò mò ra một định lý cho phép tìm những cặp số chúng ta bè, có nghĩa là các số mà lại tổng những ước thực thụ của số này thông qua số kia. Vào gắng kỉ 10, Al-Baghdadi đang nhìn vào trong 1 ít biến đổi trong định lý của Thabit ibn Qurra.

Vào ráng kỉ 10, al-Haitham rất có thể là người thứ nhất phân loại các số hoàn hảo và tuyệt vời nhất chẵn (là những số mà tổng những ước thực sự của nó bằng chính nó) thành các số tất cả dạng

2 k − 1 ( 2 k − 1 ) displaystyle 2^k-1(2^k-1)

*
trong các số đó

2 k − 1 displaystyle 2^k-1

*
là số nguyên tố. Al-Haytham cũng là người đầu tiên phát biểu định lý Wilson (nói rằng phường là số nhân tố thì

1 + ( p. − 1 ) ! displaystyle 1+(p-1)!

*
phân tách hết đến p). Hiện không rõ ông ta tất cả biết cách chứng tỏ nó không. Định lý mang tên là định lý Wilson vì địa thế căn cứ theo một lời ghi chú của Edward Waring vào khoảng thời gian 1770 rằng John Wilson là fan đầu tiên để ý đến công dụng này. Không tồn tại bằng hội chứng nào chứng tỏ John Wilson đã biết cách chứng minh và gần như là hiển nhiên là Waring cũng không. Lagrange đã đưa ra chứng minh đầu tiên vào 1771.

Các số đồng đội đóng vai trò quan trọng trong toán học tập của tín đồ Hồi giáo. Vào rứa kỉ 13, bên toán học tía Tư Al-Farisi đã đưa ra một chứng minh mới mang đến định lý của Thabit ibn Qurra, reviews một ý tưởng phát minh mới rất đặc trưng liên quan liêu đến phương thức phân tích thừa số cùng tổ hợp. Ông cũng đưa ra cặp số bạn bè 17296, 18416 mà tín đồ ta vẫn cho là của Euler, nhưng chúng tao hiểu được những số này còn được nghe biết sớm hơn cả al-Farisi, rất có thể bởi chủ yếu Thabit ibn Qurra. Vào núm kỉ 17, Muhammad Baqir Yazdi đưa ra cặp số bằng hữu 9.363.584 và 9.437.056 tương đối nhiều năm trước lúc Euler chuyển ra.

Lý thuyết số châu Âu ban đầu

Lý thuyết số ban đầu ở Châu Âu vào gắng kỉ 16 và 17, cùng với François Viète, Bachet de Meziriac, và đặc biệt là Fermat, mà phương thức lùi vô hạn của ông là chứng minh tổng quát đầu tiên của phương trình Diophantine. Định lý to Fermat được nêu lên như là một bài toán vào thời điểm năm 1637, và không tồn tại lời giải cho tới năm 1994. Fermat cũng đặt ra bài toán

61 x 2 + 1 = y 2 displaystyle 61x^2+1=y^2

vào khoảng thời gian 1657.

Vào thay kỉ 18, Euler với Lagrange đã tất cả những cống hiến quan trọng cho lý thuyết số. Euler đã làm cho một vài dự án công trình về định hướng số giải tích, cùng tình được một nghiệm tổng quát của phương trình

61 x 2 + 1 = y 2 displaystyle 61x^2+1=y^2

, nhưng Fermat nêu thành bài bác toán. Lagrange đã kiếm được một nghiệm của phương trình Pell bao quát hơn. Euler và Lagrange đã giải các phương trình Pell này bằng phương pháp liên phân số, tuy vậy nó còn khó khăn hơn phương pháp chakravala của Ấn Độ.

Mở đầu kim chỉ nan số hiện đại

Khoảng đầu cố kỉnh kỉ 19 các cuốn sách của Legendre (1798), và Gauss phối hợp thành những định hướng có hệ thống thứ nhất ở châu Âu. Cuốn Disquisitiones Arithmeticae (1801) nói theo một cách khác là đã mở màn lý thuyết số hiện tại đại.

Sự hình thành kim chỉ nan đồng dư bắt đầu với cuốn Disquisitiones của Gauss. Ông reviews ký hiệu

a ≡ b ( gian lận c ) , displaystyle aequiv bpmod c,

*
và đã tìm hiểu ra hầu hết trong nghành nghề dịch vụ này. Chebyshev sẽ xuất phiên bản vào năm 1847 một công trình bằng giờ Nga về chủ đề này, với ở Pháp Serret đã thịnh hành nó.

Bên cạnh những công trình xây dựng tổng kết trước đó, Legendre đã phát biểu luật tương hỗ bậc hai. Định lý này, được tìm hiểu ra bởi quy nạp cùng được biểu đạt bởi Euler, đang được chứng tỏ lần đầu tiên bởi Legendre trong cuốn Théorie des Nombres của ông (1798) một trong những trường hợp quánh biệt. Độc lập cùng với Euler và Legendre, Gauss đã tò mò ra định chính sách này vào tầm khoảng năm 1795, cùng là người trước tiên đưa ra chứng tỏ tổng quát. Những người cũng có góp sức quan trọng: Cauchy; Dirichlet với cuốn Vorlesungen über Zahlentheorie gớm điển; Jacobi, bạn đã gửi ra ký hiệu Jacobi; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, và Kronecker. định hướng này đang được mở rộng để bao gồm biquadratic reciprocity (Gauss, Jacobi những người dân đầu tiên chứng tỏ luật tương trợ bậc ba, với Kummer).

Gauss cũng đã đưa ra biểu diễn các số thành những dạng bậc nhị cơ số hai.

Lý thuyết số về số nguyên tố

Một công ty đề khủng và lặp đi tái diễn trong định hướng số đó là nghiên cứu về sự phân bố số nguyên tố. Carl Fiedrich Gauss sẽ dự đoán công dụng của định lý số nguyên tố khi còn là học sinh trung học.

Chebyshev (1850) chuyển ra các chặn mang lại số số nguyên tố giữa hai số lượng giới hạn cho trước. Riemann ra mắt giải tích phức thành kim chỉ nan về hàm zeta Riemann. Điều này đang dẫn đến quan hệ giữa những số ko của hàm zeta và sự phân bổ số nguyên tố, thậm chí là dẫn cho tới một minh chứng cho định lý số về số nguyên tố độc lập với Hadamard cùng de la Vallée Poussin vào năm 1896. Tuy nhiên, một chứng minh sơ cấp đã được gửi ra kế tiếp bởi Paul Erdős và Atle Selberg vào khoảng thời gian 1949. Ở phía trên sơ cấp cho nghĩa là không áp dụng kĩ thuật giải tích phức; tuy nhiên chứng tỏ vẫn rất quan trọng đặc biệt và siêu khó. Mang thuyết Riemann, đưa ra mọi thông tin đúng chuẩn hơn, vẫn còn là một câu hỏi mở.

Các thành công trong núm kỉ 19

Cauchy, Pointsot (1845), Lebesgue (1859, 1868) và đặc biệt là Hermite đã có những góp sức đối với nghành nghề này. Trong định hướng về những ternary form Eisenstein đang trở thành người đi đầu, và với ông cùng H. J. S. Smith đó và đúng là một cách tiến đặc biệt trong lý thuyết về những dạng. Smith đã chỉ dẫn một sự phân loại hoàn chỉnh về những ternary size bậc hai, và không ngừng mở rộng những nghiên cứu và phân tích của Gauss về các dạng bậc nhị thực (real quadratic form) thành các dạng phức (complex form). Những nghiên cứu và phân tích về biểu diễn các số thành tổng của 4, 5, 6, 6, 8 bình phương đang được phát triển bởi Eisenstein và lý thuyết này đã được hoàn hảo bởi Smith.

Dirichlet là người đầu tiên thuyết trình về nghành nghề dịch vụ này ở một trường đh ở Đức. 1 trong những cống hiến của ông là sự mở rộng của Định lý béo Fermat:

2)}"> x n + y n ≠ z n , ( x , y , z ≠ , n > 2 ) displaystyle x^n+y^nneq z^n,(x,y,zneq 0,n>2)

*
2)}" title="Lý thuyết số là gì? cụ thể về triết lý số tiên tiến nhất 2021 31">mà Euler với Legendre đã chứng tỏ cho n = 3, 4 (và từ đó suy ra cho các bội của 3 và 4). Dirichlet đã chỉ ra rằng rằng:

x 5 + y 5 ≠ a z 5 displaystyle x^5+y^5neq az^5

*
. Một trong những nhà toán học Pháp là Borel, Poincaré, các hồi ký kết của họ rất lớn và có giá trị; Tannery cùng Stieltjes. Một số người có những cống hiến bậc nhất ở Đức là Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, và Dedekind. Ở Austria cuốn Vorlesungen über allgemeine Arithmetik của Stolz (1885-86) với ở Anh cuốn lý thuyết số của Mathew (Phần I, 1892) là các công trình bao quát rất có giá trị. Genocchi, Sylvester, cùng J. W. L. Glaisher đã và đang có những hiến đâng cho định hướng này.

Xem thêm: Bài Giảng Hàm Số Lượng Giác Lớp 11, Bài Giảng Môn Đại Số Lớp 11

Các thành tích trong nắm kỉ 20

Những công ty toán học to trong lý thuyết số nỗ lực kỉ 20 bao gồm Paul Erdős, Gerd Faltings, G. H. Hardy, Edmund Landau, John Edensor Littlewood, Srinivasa Ramanujan với André Weil.

Các cột mốc trong lý thuyết số cụ kỉ 20 bao hàm việc chứng minh Định lý phệ Fermat bởi Andrew Wiles vào năm 1994 và minh chứng Giả thuyết Taniyama–Shimura vào khoảng thời gian 1999

Danh ngôn

Toán học tập là cô gái hoàng của các khoa học và lý thuyết số là nàng hoàng của toán học. — GaussChúa sinh ra các số nguyên, và phần việc còn lại là của con người. — KroneckerTôi biết các con số hết sức đẹp đẽ. Nếu chúng không đẹp, thì chẳng có thứ gì đẹp.— Erdős

Tham khảo