Nội dung bài xích học để giúp các em cụ được những khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của con đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không khí và khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Ngoài ra là các ví dụ minh họa sẽ giúp đỡ các em hiện ra các năng lực giải bài tập liên quan đến tính góc, minh chứng hai mặt đường thẳng vuông góc bằng vectơ.

Bạn đang xem: Hai đường thẳng vuông góc


1. Bắt tắt lý thuyết

1.1.Góc thân haivectơ

1.2. Tích vô vị trí hướng của hai vectơ

1.3. Vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng

1.4. Góc giữa hai tuyến đường thẳng

1.5. Hai tuyến phố thẳng vuông góc

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài xích 2 chương 3 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai đường thẳng vuông góc

3.2 bài tập SGK và nâng cao vềHai con đường thẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 3 hình học 11


Cho (vec u)và (vec v)là nhị vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kể vẽ (overrightarrow AB = overrightarrow u ,overrightarrow AC = overrightarrow v). Khi ấy ta call góc (widehat BAC(0 le widehat BAC le 180^0))là góc thân hai vecto vectơ (vec u)và(vec v), kí hiệu là (left ( vec u ;vec v ight )). Ta có:(left ( vec u ;vec v ight )=widehat BAC).

*


a) Định nghĩa tích vô vị trí hướng của hai vectơ

Tích vô vị trí hướng của hai vectơ(vec u)và(vec v)đều khác vectơ-không là một vài được kí hiệu là (vec u .vec v)xác dịnh bởi:

(overrightarrow u .overrightarrow v = left| overrightarrow u ight|.left| overrightarrow v ight|.c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ))

Nếu (vec u= vec0)hoặc (vec v= vec0)thì ta quy ước(vec u.vec v=0.)

b) Tính chấttích vô vị trí hướng của hai vectơ

Với ba vectơ(overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c)trong không khí và với đa số số k ta có:

(overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow b .overrightarrow a)(tính hóa học giao hoán).(overrightarrow a (overrightarrow b + overrightarrow c ) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c)(tính chất phân phối).((k.overrightarrow a ).overrightarrow b = k.(overrightarrow a .overrightarrow b ) = overrightarrow a .koverrightarrow b .)(overrightarrow a ^2 ge 0,overrightarrow a ^2 = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0.)c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ(vec u)và(vec v)bằng (c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ))theo công thức:(c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ) = fracoverrightarrow u .overrightarrow v left).


1.3. Vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng


Vectơ (overrightarrow a e overrightarrow 0)được hotline là vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng d ví như giá của vectơ(overrightarrow a)song song hoặc trùng với đường thẳng d.

*

Nếu (overrightarrow a)là vectơ chỉ phương của con đường thẳng d thì vectơ (koverrightarrow a)với (k e 0)cũng là một vectơ chỉ phương của d.

Một con đường thẳng d trong ko gian hoàn toàn xác định được giả dụ biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương (overrightarrow a)của d.


1.4. Góc giữa hai tuyến phố thẳng


Góc giữa hai đường thẳng a với b trong không khí là góc giữa hai tuyến phố thẳng a’ và b’ cùng đi sang một điểm bất cứ lần lượt tuy nhiên song cùng với a với b.

*


1.5. Hai tuyến đường thẳng vuông góc


a) Định nghĩa

Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu như góc thân chúng bằng 900. Ta kí hiệu là:(b ot a)hoặc(a ot b.)

b) Tính chấtNếu(vec u)và(vec v)lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai tuyến đường thẳng a và b thì:(a ot b Leftrightarrow overrightarrow u .overrightarrow v = 0.)Cho hai tuyến đường thẳng tuy vậy song. Giả dụ một mặt đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.Hai con đường thẳng vuông góc nhau thì rất có thể cắt nhau hoặc chéo cánh nhau.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác minh góc giữa những cặp vectơ sau đây:

a)(overrightarrow AB ,overrightarrow EG .)

c)(overrightarrow AB ,overrightarrow DH).

Hướng dẫn giải:

*

a) vày EG // AC phải góc giữa(overrightarrow AB ,overrightarrow EG)cũng bằng góc giữa(overrightarrow AB)và(overrightarrow AC)

Vậy(left( overrightarrow AB ;overrightarrow EG ight) = left( overrightarrow AB ;overrightarrow AC ight) = 45^0.)

b) do AB // DG bắt buộc góc giữa(overrightarrow AB ,overrightarrow DH)cũng bởi góc giữa(overrightarrow DC)và(overrightarrow DH)

Vậy(left( overrightarrow AB ;overrightarrow DH ight) = left( overrightarrow AB ;overrightarrow DH ight) = 45^0.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC bao gồm SA = SB =SC và bao gồm (widehat mASB = widehat BSC = widehat CSA.)

Chứng minh rằng:(SA ot BC, SBot AC, SC ot AB.)

Hướng dẫn giải:

Xét những tích vô hướng:(overrightarrow SA .overrightarrow BC ,overrightarrow SB .overrightarrow AC ,overrightarrow SC .overrightarrow AB .)

Ta có:

(eginarrayl overrightarrow SA .overrightarrow BC = overrightarrow SA .(overrightarrow SC - overrightarrow SB ) = overrightarrow SA .overrightarrow SC - overrightarrow SA .overrightarrow SB \ = left| overrightarrow SA ight|.left| overrightarrow SC ight|.c moswidehat mCSA - left| overrightarrow SA ight|.left| overrightarrow SB ight|c moswidehat mASB endarray)

Theo giá chỉ thuyết:(left| overrightarrow SB ight| = left| overrightarrow SC ight|)

Và:(c moswidehat mCSA = c moswidehat mASB Rightarrow overrightarrow SA .overrightarrow BC = 0)

Vậy:(SA ot BC.)

Chứng minh giống như ta có:(SBot AC, SC ot AB.)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD bao gồm AB⊥AC và AB⊥BD. Gọi phường và Q theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB cùng PQ là hai tuyến phố thẳng vuông góc cùng với nhau.

Lời giải:

*

Ta có: (overrightarrow PQ = overrightarrow PA + overrightarrow AC + overrightarrow CQ)

Và: (overrightarrow PQ = overrightarrow PB + overrightarrow BD + overrightarrow DQ)

Do đó: (2overrightarrow PQ = overrightarrow AC + overrightarrow BD)

Vậy:(2.overrightarrow PQ .overrightarrow AB = left( overrightarrow AC + overrightarrow BD ight).overrightarrow AB = overrightarrow AC .overrightarrow AB + overrightarrow BD .overrightarrow AB = 0)

Hay (overrightarrow PQ .overrightarrow AB = 0)Tức là: (PQ ot AB.)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, (widehat BAC = widehat BAD = 60^0.).

a) minh chứng rằng AB vuông góc CD.

b) ví như I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì (AB ot IJ.)

Hướng dẫn giải:

*

a) Ta có:

(eginarrayl overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AB left( overrightarrow AD - overrightarrow AC ight) = overrightarrow AB .overrightarrow AD - overrightarrow AB .overrightarrow AC \ = left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AD ight|.cos BAD - left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AC ight|.cos BAC endarray)

Mặt không giống ta có:(AB = AC = AD,widehat BAC = widehat BAD)

Nên:(overrightarrow AB .overrightarrow AC = left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AD ight|.cos BAD - left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AC ight|.cos BAC = 0)

Vậy AB vuông góc với CD.

b)) bởi vì I, J là trung điểm của AB và CD cần ta có:(overrightarrow IJ = frac12left( overrightarrow AD + overrightarrow BC ight))

Do đó:

(eginarrayl overrightarrow AB .overrightarrow IJ = frac12left( overrightarrow AB .overrightarrow AD + overrightarrow AB overrightarrow BC ight) = frac12left( overrightarrow AB .overrightarrow AD + overrightarrow AB overrightarrow BA + overrightarrow AB .overrightarrow AC ight)\ = frac12left( .left ight)\ = frac12left( frac12a^2 - a^2 + frac12a^2 ight) = 0 endarray)

Vậy AB với IJ vuông góc nhau.


Câu 3:

Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng nếu(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AC .overrightarrow AD = overrightarrow AD .overrightarrow AB )thì(AB ot CD,AC ot BD,AD ot BC). Điều trái lại có đúng không?

Sau đó là lời giải:

Bước 1:(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AC .overrightarrow AD Leftrightarrow overrightarrow AC left( overrightarrow AB - overrightarrow AD ight) = 0)

( Leftrightarrow overrightarrow AC .overrightarrow DB = 0 Leftrightarrow AC ot BD)

Bước 2: chứng minh tương tự, từ(overrightarrow AC .overrightarrow AD = overrightarrow AD .overrightarrow AB ) ta được(AD ot BC)

và(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AD .overrightarrow AB ) ta được(AB ot CD)

Bước 3: trái lại đúng, bởi quá trình chứng tỏ ở cách 1 với 2 là quá trình thay đổi tương đương.

Bài giải trên đúng giỏi sai, nếu sai thì không nên ở đâu?


Bên cạnh đó những em hoàn toàn có thể xem phần chỉ dẫn Giải bài bác tập Hình học 11 bài xích 2sẽ giúp những em nỗ lực được các phương pháp giải bài bác tập từ SGKhình học 11Cơ bạn dạng và Nâng cao.

Xem thêm: Kết Bài 2 Đứa Trẻ Của Thạch Lam, Kết Bài Hai Đứa Trẻ Ấn Tượng Nhất (60 Mẫu)

bài bác tập 1 trang 97 SGK Hình học tập 11

bài xích tập 2 trang 97 SGK Hình học tập 11

bài tập 3 trang 97 SGK Hình học 11

bài tập 4 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài bác tập 5 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài bác tập 6 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài tập 7 trang 98 SGK Hình học 11

bài bác tập 8 trang 98 SGK Hình học 11

bài bác tập 3.8 trang 138 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 3.9 trang 138 SBT Hình học 11

bài bác tập 3.10 trang 138 SBT Hình học 11

bài bác tập 3.11 trang 139 SBT Hình học 11

bài bác tập 3.12 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 3.13 trang 139 SBT Hình học 11

bài xích tập 3.14 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 3.15 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 7 trang 95 SGK Hình học 11 NC

bài xích tập 8 trang 95 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 9 trang 96 SGK Hình học tập 11 NC

bài tập 10 trang 96 SGK Hình học 11 NC

bài bác tập 11 trang 96 SGK Hình học 11 NC


4. Hỏi đáp về bài bác 2 chương 3 hình học tập 11


Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em rất có thể để lại thắc mắc trong phầnHỏiđáp, xã hội Toán HỌC247 vẫn sớm trả lời cho các em.