Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1.Ví dụ mở đầu:

Ví dụ 1: từ một đoạn thẳng bao gồm độ nhiều năm là a. Hãy tạo nên thành 1 tam giác có diện tích lớn nhất

Ký hiệu ba cạnh tam giác là x, y, z và p là nửa chu vi tam giác.

Bạn đang xem: Cách tìm cực trị có điều kiện

Ta bắt buộc tìm tam giác có diện tích s lớn nhất. Bài xích toán mang lại t2im cực đại của hàm số:

*
Thông thường, phương trình f(x,y) = 0 là phương trình của con đường cong (C). Như vậy, ta chỉ đối chiếu
*
cùng với
*
lúc M nằm ở (C).

Tương tự, ta cũng có định nghĩa cực đại có điều kiện.

Cực tiểu có đk và cực đại có điều kiện được gọi chung là rất trị tất cả điều kiện.

4. Các phương pháp tìm cực trị có điều kiện:

4.1 biện pháp 1: Đưa về vấn đề tìm cực trị của hàm 1 biến

Nếu từ điều kiện (2) ta giải tìm được y = y(x) thì khi gắng vào hàm số

*
ta gồm z là hàm theo 1 trở thành số x:
*
. Như vậy, việc trở về việc tìm cực trị của hàm tiên phong hàng đầu biến. —–> thừa quen thuộc!!!

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm

*
với điều kiện
*

Từ đk trên ta rút ra:

*
. Bởi vậy y xác minh với hồ hết x.

Thay vào hàm số ta có:

*

Đây là hàm tiên phong hàng đầu biến, hàm số này khẳng định khi

*

Ta có:

*

Như vậy, hàm số không tồn tại cực trị có đk vì

*
không thuộc miền khẳng định của hàm số.

4.2 cách 2: cách thức Larrange:

Nếu từ pt (2) ta không giải tìm kiếm y theo x được. Khi đó, giả sử (2) xác minh 1 hàm ẩn theo đổi mới x:

*
. Để vĩnh cửu hàm số ẩn, ta đưa thiết
*
(*)

Như vậy: hàm số

*
, với y là hàm theo x chính là hình ảnh hàm số hòa hợp của biến đổi số x trải qua biến trung gian y.

Với phần đa giá trị của x tạo cho z rất có thể có rất trị thì đạo hàm của z theo x cần triệt tiêu.

Vậy rước đạo hàm của (1) theo biến hóa x với quy tắc hàm hợp (nhớ rằng y là hàm theo x) ta có:

*

Do đó, tại phần đông điểm rất trị ta đề nghị có:

*
(3)

Từ đk (2), ta rước đạo hàm 2 vế theo x. Ta có:

*
(4)

Đẳng thức (4) này được thỏa mãn với đầy đủ x, y vừa lòng phương trình (2).

Như vậy, tại đa số điểm cực trị vừa lòng điều kiện (2) thì sẽ thỏa mãn nhu cầu (3) và (4)

Nhân những số hạng của (4) với thông số chưa khẳng định

*
cùng cộng bọn chúng với những số hạng khớp ứng của (3), ta được:

*

Hay:

*
(5)

Do đó, phương trình (5) cũng nghiệm đúng tại hầu như điểm cực trị thỏa đk (2). Trường đoản cú (5), ta lựa chọn hằng số

*
làm thế nào để cho tại gần như điểm cực trị, thông số của
*
đang triệt tiêu.

Nghĩa là:

*
(6)

Vì vậy, từ phương trình (5) cùng (6) ta có: hồ hết điểm cực trị có đk sẽ là nghiệm của hệ phương trình:

*

Bây giờ, ta xét hàm số Larrange:

*

Khi đó các điểm rất trị địa phương của hàm Larrange sẽ thỏa mãn nhu cầu hệ:

*

Từ (I) và (II) ta nhận thấy: phần lớn điểm ngừng của hàm Larrange có thể là cực trị của hàm z = f(x,y) với đk (2).

Như vậy, việc cực trị có điều kiện trở về việc cực trị địa phương của hàm Larrange. Ở đây

*
chỉ đóng vai trò phụ cùng sau khi tìm được giá trị
*
thì không đề nghị đến.

Xem thêm: Người Tuổi Ngọ Hợp Với Tuổi Nào ? Tuổi Ngọ Hợp Màu Gì, Hợp Với Tuổi Nào 2022

Điều khiếu nại của cực trị có điều kiện liên quan đến việc khảo sát dấu của vi phân cung cấp 2 của hàm Larrange trên điểm

*

*

trong đó: dx, dy chưa phải là phần lớn giá trị bất kỳ mà phải thỏa điều kiện:

*
trong đó:
*

Nếu

*
0 " class="latex" /> với đa số giá trị hoàn toàn có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu tất cả điều kiện.