Hướng dẫn giải bài xích §2. Cực trị của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra khảo sát và vẽ vật thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 bao hàm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài xích tập giải tích tất cả trong SGK sẽ giúp đỡ các em học sinh học giỏi môn toán lớp 12.
Bạn đang xem: Bài 1 toán 12 trang 18
Lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho hàm số (y=f(x)) thường xuyên trên khoảng chừng $(a;b)$ với điểm (x_0in(a;b)):
– Hàm số (f(x)) đạt cực lớn tại (x_0) nếu
(f(x_0)>f(x) forall xin (x_0-h,x_0+h) setminus left x_0 ight ,h>0)
– Hàm số (f(x)) đạt cực tiểu trên x0 nếu
(f(x_0)0).
2. Điều kiện cần và đk đủ để hàm số gồm cực trị
a) Điều kiện đề nghị để hàm số gồm cực trị
(f(x)) đạt rất trị trên (x_0), bao gồm đạo hàm trên (x_0) thì (f"(x_0)=0).
b) Điều kiện đủ để hàm số bao gồm cực trị
♦ Định lí 1.
Cho hàm số y = f(x) tiếp tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và có đạo hàm bên trên K hoặc bên trên K (setminus) x0 .
– trường hợp (left{ matrix{f’left( x ight) > 0|forall left( x_0 – h;,,x_0 ight) hfill cr f’left( x ight) 0 là điểm cực đại của hàm số
– nếu (left{ matrixf’left( x ight) 0 ight.) thì x0 là vấn đề cực tè của hàm số
♦ Định lí 2.
Cho hàm số y = f(x) bao gồm đạo hàm trung học cơ sở trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0).
– trường hợp f"(x0) = 0, f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tè của hàm số f.
– nếu như f"(x0) = 0, f”(x0) 0 là điểm cực đại của hàm số f.
3. Luật lệ tìm rất trị
a) phép tắc $I$
– tìm tập xác định.
– Tính f"(x). Tìm những điểm tại đó f"(x) bằng 0 hoặc f"(x) ko xác định.
– Lập bảng biến chuyển thiên.
– trường đoản cú bảng thay đổi thiên suy ra các điểm cực trị.
b) quy tắc $II$
– tìm kiếm tập xác định.
– Tính f"(x). Giải phương trình f"(x) = 0 với kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, …) là các nghiệm của nó.
– Tính f”(x) với f”(xi)
– ví như f”(xi) > 0 thì xi là điểm cực tiểu. Nếu f”(xi) i là điểm rất đại.
Chú ý: trường hợp (f”(x_i)=0) thì ta buộc phải dùng nguyên tắc I nhằm xét cực trị tại.
Dưới đây là phần hướng dẫn vấn đáp các câu hỏi và bài tập vào phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 13 sgk Giải tích 12
Dựa vào thứ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra những điểm tại kia mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):
Trả lời:
a) Từ đồ dùng thị hàm số ta thấy: tại (x = 0) hàm số có mức giá trị lớn nhất bằng (1).
Xét dấu đạo hàm:
b) Từ vật dụng thị hàm số ta thấy:
Tại (x = 1) hàm số có giá trị lớn nhất bằng (displaystyle 4 over 3)
Tại (x = 3) hàm số có giá trị nhỏ tuổi nhất bằng (0).
Xét dấu đạo hàm:
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 14 sgk Giải tích 12
Giả sử f(x) đạt cực lớn tại (x_0). Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số (f(x_0 + Delta x) – ,f(x_0) over Delta x) khi $Δx → 0$ trong nhì trường thích hợp $Δx > 0$ cùng $Δx 0$ ta có:
(mathop lim limits_Delta x o 0^ + dfracfleft( x_0 + Delta x ight) – fleft( x_0 ight)Delta x = 0 = f’left( x_0^ + ight))
– với $Δx
3. Trả lời câu hỏi 3 trang 14 sgk Giải tích 12
a) thực hiện đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có rất trị tốt không.
$y = -2x + 1;$
(y = x(x – 3)^2 over 3,,,(H.8))
b) Nêu quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.
Trả lời:
a) Hàm số $y = -2x + 1$ không tồn tại cực trị.
Hàm số (y = x(x – 3)^2 over 3) đạt cực đại tại $x = 1$ cùng đạt cực tiểu trên $x = 3$.
b) giả dụ hàm số có cực trị thì vết của đạo hàm phía bên trái và bên đề xuất điểm cực trị đã khác nhau.
4. Trả lời câu hỏi 4 trang 16 sgk Giải tích 12
Chứng minh hàm số $y = |x|$ không tồn tại đạo hàm tại $x = 0$. Hàm số bao gồm đạt rất trị tại điểm đó không?
Trả lời:
Ta có:
(y = ,|x|, = left{ matrix{x;,,x ge 0 hfill cr– x;,,x 1;,,x ge 0 hfill cr– 1;,,x
5. Trả lời thắc mắc 5 trang 16 sgk Giải tích 12
Áp dụng quy tắc $I$, hãy tìm những điểm rất trị của hàm số (f(x) = x(x^2 – 3)).
Trả lời:
TXĐ: $D = R$
$f’(x) = 3x^2 – 3$. đến $f’(x) = 0 ⇔ x = 1$ hoặc $x = -1$.
Ta bao gồm bảng đổi mới thiên:
Vậy:
– Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ cùng giá trị cực lớn là $2$
– Hàm số đạt rất tiểu trên $x = 1$ và quý hiếm cực đái là $-2$.
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12. Chúng ta hãy gọi kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
rongnhophuyen.com trình làng với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài xích tập giải tích 12 kèm bài bác giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 của bài xích §2. Rất trị của hàm số trong Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ thứ thị hàm số cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập chúng ta xem bên dưới đây:
1. Giải bài 1 trang 18 sgk Giải tích 12
Áp dụng nguyên tắc $I$, hãy tìm các điểm rất trị của hàm số sau:
a) (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10).
b) (y = x^4+ 2x^2 – 3).
c) (y = x + frac1x).
d) (y = x^3(1 – x)^2).
e) (y = sqrt x^2-x+1).
Bài giải:
a) Xét hàm số (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10)
– Tập xác định: (D=mathbbR).
– Ta gồm đạo hàm: (y’ = 6x^2 + 6x – 36)
(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 2\ x = – 3 endarray ight.)
Với $x=2$ ta tất cả $y=-54$.
Với $x=-3$ ta bao gồm $y=71$.
– Bảng vươn lên là thiên:
Hàm số đạt cực lớn tại $x=-3$, giá trị cực to $y_cđ = y(-3) = 71.$
Hàm số đạt rất tiểu tại $x = 2$, quý giá cực tiểu $y_ct= y(2) =- 54.$
b) Xét hàm số (y = x^4+ 2x^2 – 3)
– Tập xác định: (D=mathbbR).
– Đạo hàm: (y’ = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1))
(y’ = 0 Leftrightarrow x = 0)
Với $x=0$ ta bao gồm $y=-3$.
– Bảng thay đổi thiên của hàm số:
Hàm số đạt cực tiểu trên $x=0$, quý giá cực tiểu $y_ct= y(0)=- 3.$
Hàm số không có cực đại.
c) Xét hàm số (y = x + frac1x)
– Tập xác định: (D = mathbbRackslash left 0 ight\)
– Đạo hàm:
(y’=1-frac1x^2=fracx^2-1x^2=frac(x-1)(x+1)x^2)
(y’ = 0 Leftrightarrow (x – 1)(x + 1) = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = – 1\ x = 1 endarray ight.)
Với $x = 1$ ta có $y = 2.$
Với $x = -1$ ta bao gồm $y = -2.$
– Bảng đổi thay thiên:
Hàm số đạt cực to tại $x=-1$, giá bán trị cực đại $y_cđ = y(-1) = -2.$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$, giá trị cực tè $y_ct = y(1) = 2.$
d) Xét hàm số (y = x^3(1 – x)^2)
– Tập xác định: (D=mathbbR).
– Đạo hàm: (y’ = 3x^2(1 – x)^2 – 2x^3(1 – x) = x^2(1 – x)(3 – 5x))
(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 1\ x = frac35\ x = 0 endarray ight.)
Với (x=1) ta gồm (y=0.)
Với (x=frac35) ta tất cả (y=frac1083125.)
Với x=0 ta có (y=0.)
– Bảng đổi thay thiên:
Hàm số đạt cực lớn tại (x=frac35,) giá chỉ trị cực to (y_cđ =yleft ( frac35 ight )frac1083125.)
Hàm số đạt rất tiểu trên (x=1,) quý giá cực tè (y_ct=y(1)=0.)
e) Xét hàm số (y = sqrt x^2-x+1)
– Tập xác định: (D=mathbbR).
– Đạo hàm: (y’ = frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 )
(y’ = 0 Leftrightarrow 2x – 1 = 0 Leftrightarrow x = frac12)
Với (x=frac12) ta tất cả (y=fracsqrt 32).
– Bảng trở thành thiên:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại (x=frac12), quý hiếm cực đái (y_ct=yleft ( frac12 ight )=fracsqrt 32.)
2. Giải bài xích 2 trang 18 sgk Giải tích 12
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm những điểm cực trị của hàm số sau:
a) (y = x^4 – 2x^2 + 1).
b) (y=sin 2x – x).
c) (y = sinx + cosx).
d) (y = x^5 – x^3 – 2x + 1).
Bài giải:
a) Hàm số (y = x^4 – 2x^2 + 1).
– TXĐ: $D = R$.
– Đạo hàm:
(y" m = 4x^3- m 4x m = m 4x(x^2 – m 1)) ;
(y’ = 0) (⇔ 4x()(x^2)( – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).
( y” = 12x^2-4).
(y”(0) = -4 CĐ = ( y(0) = 1).
(y”(pm 1) = 8 > 0) nên hàm số đạt rất tiểu tại (x = pm1),
(y)CT = (y(pm1)) = 0.
b) Hàm số (y=sin 2x – x)
– TXĐ: $D = R$.
– Đạo hàm:
(y’ = 2cos2x – 1) ;
(y’=0Leftrightarrow cos2x=frac12Leftrightarrow 2x=pm fracpi 3+k2pi)
(Leftrightarrow x=pm fracpi 6+kpi .)
(y” = -4sin2x) .
(y”left ( fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft ( fracpi 3 +k2pi ight )=-2sqrt3CĐ = ( sin(fracpi 3+ k2π) – fracpi 6 – kπ) = (fracsqrt32-fracpi 6- kπ) , (k ∈mathbb Z).
(y”left ( -fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft (- fracpi 3 +k2pi ight )=2sqrt3>0) đề nghị hàm số đạt rất tiểu tại các điểm (x =-fracpi 6+ kπ),
(y)CT = (sin(-fracpi 3+ k2π) + fracpi 6 – kπ) =(-fracsqrt32+fracpi 6 – kπ) , (k ∈mathbb Z).
c) Hàm số (y = sinx + cosx)
– TXĐ: $D = R$.
– Đạo hàm:
(y = sinx + cosx = sqrt2sinleft (x+fracpi 4 ight ));
( y’ =sqrt2cosleft (x+fracpi 4 ight )) ;
(y’=0 Leftrightarrow cosleft (x+fracpi 4 ight )=0Leftrightarrow)(x+fracpi 4 =fracpi 2+kpi Leftrightarrow x=fracpi 4+kpi .)
(y”=-sqrt2sinleft ( x+fracpi 4 ight ).)
(y”left ( fracpi 4 +kpi ight )=-sqrt2sinleft ( fracpi 4+kpi +fracpi 4 ight ))
(=-sqrt2sinleft ( fracpi 2 +kpi ight ))
(=left{ matrix– sqrt 2 ext trường hợp k chẵn hfill crsqrt 2 ext trường hợp k lẻ hfill cr ight.)
Do kia hàm số đạt cực lớn tại những điểm (x=fracpi 4+k2pi), đạt rất tiểu tại các điểm (x=fracpi 4+(2k+1)pi (kin mathbbZ).)
d) Hàm số (y = x^5 – x^3 – 2x + 1)
– TXĐ: $D = R$.
– Đạo hàm:
(y" m = m 5x^4 – m 3x^2 – m 2 m = m (x^2 – m 1)(5x^2 + m 2)); (y" m = m 0 Leftrightarrow x^2 – m 1 m = m 0 Leftrightarrow m x m = pm 1).
(y” m = m 20x^3 – m 6x).
(y”(1) = 14 > 0) phải hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1),
(y)CT = ( y(1) = -1).
(y”(-1) = -14 CĐ = (y(-1) = 3).
3. Giải bài bác 3 trang 18 sgk Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số (y=sqrtleft ) không tồn tại đạo hàm tại (x = 0) cơ mà vẫn đạt rất tiểu trên điểm đó.
Bài giải:
– chứng tỏ hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm (x=0):
(eginarrayly = fleft( x ight) = sqrt = left{ eginarraylsqrt x ,,khi,,x ge 0\sqrt – x ,,khi,,x mathop lim limits_x o 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lim limits_x o 0^ + fracsqrt x x = mathop lim limits_x o 0^ + frac1sqrt x = + infty \mathop lim limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lim limits_x o 0^ – fracsqrt – x x = mathop lim limits_x o 0^ – fracsqrt – x – left( sqrt – x ight)^2 = mathop lim limits_x o 0^ – frac – 1sqrt – x = – infty \Rightarrow mathop lim limits_x o 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 e mathop lim limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0endarray)
(Rightarrow) ko tồn tại đạo hàm của hàm số đã mang lại tại (x = 0).
– minh chứng hàm số đạt cực tiểu trên (x=0) :
Với (h>0) là một vài thực bất kỳ ta có:
(eginarraylfleft( x ight) = sqrt left ge 0,,forall x in left( – h;h ight)\fleft( 0 ight) = 0\Rightarrow fleft( x ight) ge fleft( 0 ight),,,forall x in left( – h;h ight)endarray)
Theo định nghĩa điểm rất trị của hàm số ta kết luận (x=0) là điểm cực tè của hàm số (y = fleft( x ight) = sqrt x ight ).
4. Giải bài bác 4 trang 18 sgk Giải tích 12
Chứng minh rằng với tất cả giá trị của thông số m, hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1) luôn luôn luôn gồm một điểm cực lớn và một điểm rất tiểu.
Bài giải:
Xét hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1)
– Tập xác minh (D=mathbbR.)
– Đạo hàm:
(y’ = 3x^2 – 2mx – 2), (Delta ‘_y’ = m^2 + 6 > 0,forall m) yêu cầu phương trình $y’=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt và $y’$ đổi dấu khi qua những nghiệm đó.
Vậy hàm số luôn có một cực to và một cực tiểu.
5. Giải bài xích 5 trang 18 sgk Giải tích 12
Tìm (a) với (b) để các cực trị của hàm số
(y=frac53a^2x^3+2ax^2-9x+b)
đều là phần đông số dương và (x_0=-frac59) là vấn đề cực đại.
Bài giải:
♦ TH1: (a = 0) hàm số biến đổi (y = -9x + b).
TXĐ: $D = R$.
Trường hòa hợp này hàm số bao gồm (a=-1 0\Leftrightarrow frac53.left( – frac95 ight)^2 + 2.left( – frac95 ight) – 9 + b > 0Leftrightarrow b > frac365endarray)
Với (a > 0) ta bao gồm (frac1a > frac – 95a) ta tất cả bảng biến đổi thiên :
Từ BBT ta gồm (x_CĐ=frac-95a).
Vì (x_0=-frac59) là điểm cực đại nên (-frac95a=-frac59Leftrightarrow a=frac8125) ™. Theo yêu cầu việc thì: (y_(ct)=yleft ( frac1a ight )=yleft ( frac2581 ight )>0)
(Leftrightarrow frac53cdot left ( frac8125 ight )^2left ( frac2581 ight )^3+2.frac8125cdot left ( frac2581 ight )^2-9cdot frac2581+b>0)
(Leftrightarrow b>frac400243.)
Vậy các giá trị (a, b) đề xuất tìm là: (left{eginmatrix a=-frac95 & \ b>frac365 & endmatrix ight.) hoặc (left{eginmatrix a=frac8125 và \ b>frac400243 & endmatrix ight.).
6. Giải bài bác 6 trang 18 sgk Giải tích 12
Xác định cực hiếm của tham số (m) để hàm số (y=fracx^2+mx+1x+m) đạt cực to tại (x = 2).
Bài giải:
Tập xác minh : (D=mathbbRsetminus left -m ight ;)
Ta có:
(eginarrayly’ = fracleft( 2x + m ight)left( x + m ight) – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = frac2x^2 + 2mx + mx + m^2 – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = fracx^2 + 2mx + m^2 – 1left( x + m ight)^2endarray)
Hàm số đạt cực to tại (x = 2Rightarrow y"(2) = 0) (⇔ m^2 + m 4m m + m 3 m = m 0)( ⇔ m=-1) hoặc (m=-3)
♦ với (m = -1), ta gồm : (y=fracx^2-x+1x-1;)
TXĐ: (Rackslash left 1 ight\)
(y’=fracx^2-2x(x-1)^2; y’=0Leftrightarrow left{eginmatrix x^2 -2x=0& \ x eq 1 & endmatrix ight.)
(Leftrightarrow x=0) hoặc (x=2).
Ta bao gồm bảng đổi thay thiên :
Trường hòa hợp này ta thấy hàm số ko đạt cực lớn tại (x = 2).
♦ với (m = -3), ta có: (y=fracx^2-3x+1x-3;)
TXĐ: (D = Rackslash left 3 ight\)
(y’ = fracx^2 – 6x + 8left( x – 3 ight)^2;,,y’ = 0 Leftrightarrow left<eginarraylx = 2\x = 4endarray ight.)
Ta bao gồm bảng vươn lên là thiên :
Trường hòa hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại (x = 2).
Xem thêm: Đề Thi Hs Giỏi Toán 9 Có Đáp Án 9 Năm 2021, Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Toán Lớp 9 Có Đáp Án
Vậy (m = -3) là giá chỉ trị đề xuất tìm.
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Chúc các bạn làm bài giỏi cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài xích 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12!